CTX - 02 - Concetti di Divisibilità

Andiamo adesso a vedere una particolare caratterizzazione del MCD che fa riferimento al concetto di ideale.

Definizione: Sia \(A\) un anello commutativo e unitario, un sottoinsieme \(I \subseteq A\) è chiamato \textit{ideale} se valgono le seguenti proprietà:

• \(\forall x, y \in I: x + y \in I\)

• \(\forall x \in I, \forall y \in A: xy \in I\)

Notiamo che ogni anello \(A\) ha almeno due ideali: l'insieme \(A\) stesso e \(\{0\}\). Questi ideali vengono detti ideali banali.

Dato un sottoinsieme \(X = \{x_1, x_2, ..., x_n\} \subseteq A\), viene denotato con \(I(X)\) l'ideale generato dagli elementi di \(X\). Tale ideale è anche caratterizzato come il più piccolo ideale \(I \subseteq A\) che contiene \(X\), \(I \supseteq X\). Utilizzando la definizione di ideale possiamo descrivere \(I(X)\) nel seguente modo:

\[I(X=\{x_1, x_2, ..., x_n\}) = \Big\{ \sum_{i = 1}^n x_ia_i : a_i \in A, \,\,\,\,i = 1, ..., n\Big\}\]

Certe volte scriveremo \((x_1, x_2, ..., x_n)\) per intendere \(I(\{x_1, x_2, ..., x_n\})\). L'ideale è quindi formato da tutte le espressioni della forma \(x_1a_1 + ... + x_na_n\), dove gli \(x_i\) sono fissati dall'insieme \(X\) mentre gli \(a_i\) variano nell'anello \(A\).

Esempio: Se \(A = (\mathbb{Z}, +, \cdot)\), allora

• \(I(2) = \Big\{\sum_{i = 1}^i 2a_1 : a_1 \in \mathbb{Z}\Big\} = \{0, 2, -2, 4, -4, 6, -6, ...\}\)

• \(I(2,3) = \Big\{ \sum_{i = 1}^i {2a_1 + 3a_2} : a_1, a_2 \in \mathbb{Z} \Big\} = \{0, 2, -2, 3, -3, 1, ....\}\)

Un ideale \(I\) viene detto principale se viene generato da un solo elemento \(p \in A\), ovvero se \(I = I(p) = (p)\).

Osserviamo ora che, se \(p \mid a\), allora \(I(a) \subseteq I(p)\). Infatti, se \(p \mid a\) allora \(a = ph\), e quindi \(\forall x \in I(a)\)

\[x = ac = (ph)c = p(hc)\]

e quindi \(x \in I(p)\).

Proposizione: Nell'anello \((\mathbb{Z}, +, \cdot)\), ogni ideale è principale.

Dimostrazione: Sia \(I \subseteq \mathbb{Z}\) un ideale, e sia \(p\) il più piccolo intero positivo contenuto in \(I\), \(p \in I\). Allora valgono le seguenti cose

• \((p) \subseteq I\), in quanto \(p \in I\).

• \(I \subseteq (p)\). Infatti, sia \(x \in I\). Dividendo \(x\) per \(p\), ottengo, unicamente, due interi \(q, r\), tali che \(x = qp + r\), con \(0 \leq r < p\).

  Notiamo adesso che, \(x \in I\) per assunzione, e che \(qp \in I\), per definizione di ideale e per il fatto che \(p \in I\). Ma quindi \(r = x - qp\) è anch'esso in \(I\). Utilizzando poi il fatto che \(r < p\), osserviamo che l'unico valore possibile di \(r\) è proprio \(0\). Se \(r\) non fosse 0, allora \(p\) non sarebbe l'elemento positivo più piccolo di \(I\), e quindi avremmo una contraddizione. Ma allora \(r = 0\), e quindi \(x \in (p)\)

Abbiamo dimostrato che \(I = (p)\) e quindi \(I\) è un ideale principale.

\[\tag*{$\blacksquare$}\]

In realtà questo risultato si applica a tutti gli anelli euclidei, e non solo a \(\mathbb{Z}\). Vale infatti il seguente teorema.

Teorema: Tutti gli anelli euclidei sono a ideali principali.

Dati \(x_1, x_2, ..., x_n\), non tutti \(0\), sappiamo che \(\exists x \in \mathbb{Z}\), con \(x > 0\), tale che \((x) = (x_1, x_2, ..., x_n)\). In particolare questo \(x\) è l'elemento positivo più piccolo in \((x_1, ..., x_n)\). Vale la seguente caratterizzazione

\[x = MCD(x_1, x_2, ..., x_n)\]

andiamo a vedere brevemente il perché

• Sicuramente \(x\) divide ogni \(x_i\). Infatti \(x_i \in (x)\), ovvero \(x_i = xh\) per qualche \(h \in \mathbb{Z}\). Ma quindi \(x \mid x_i\).

• Se abbiamo un certo \(y\) tale che

  \[\forall i = 1,...,n : y \mid x_i \iff x_i = yh \iff x_i \in (y)\]

  e quindi \((x) = (x_1, x_2, ..., x_n) \subseteq (y)\), ovvero \(y \mid x\).

Sia \(\mathbb{K}[X]\) l'anello dei polinomi sul campo \(\mathbb{K}\). Ricordiamo che \(\mathbb{K}[X]\) è una struttura algebrica contenente tutte le espressioni polinomiali a coefficienti in \(\mathbb{K}\). Formalmente, l'anello dei polinomi è costruito prendendo tutte le successioni a valori in \(\mathbb{K}\) definitivamente nulle, ovvero:

\[\mathbb{K}[X] = \{(k_n)_{n \in \mathbb{N}} : k_n \in \mathbb{K}, k_n = 0 \text{ per quasi tutti gli } n \}\]

Ad esempio, se \(K = \mathbb{Z}\), possiamo associare al polinomio \(5x^3 + 2x - 5\) l'elemento \((-5, 2, 0, 5, 0, 0, 0, ....) \in \mathbb{K}[Z]\). Come si può vedere, ogni elemento di \(\mathbb{K}[X]\) può essere interpretato come un polinomio, e ogni polinomio a cofficienti in \(\mathbb{Z}\) può essere visto come un elemento di \(\mathbb{K}[X]\).

Non continuiamo la costruzione dell'insieme \(\mathbb{K}[X]\), ma notiamo semplicemente che su tale insieme possiamo definire le due tipiche operazioni di somma e prodotto. Tale insieme, con le due operazioni definite, è un anello commutativo e unitario.

Alcune proprietà del campo \(\mathbb{K}\) su cui l'insieme \(\mathbb{K}[X]\) è definito vengono trasmesse anche a \(\mathbb{K}[X]\). In particolare, se \(\mathbb{K}\) è un dominio di integrità, allora gli elementi invertibili di \(\mathbb{K}[X]\) sono tutti e soli gli elementi invertibili di \(\mathbb{K}\). Ricordiamo che un dominio di integrità è un anello commutativo con unità tale che \(0 \neq 1\) in cui il prodotto di due qualsiasi elementi non nulli è un elemento non nullo.

Andiamo adesso a descrivere quali sono gli elementi irriducibili di \(\mathbb{K}[X]\). Sia \(\mathbb{K}^*\) l'insieme degli elementi invertibili di \(\mathbb{K}\). Essendo \(\mathbb{K}\) un campo, abbiamo che \(\mathbb{K}\) è un dominio di integrità, e quindi \(\mathbb{K}^*\) è anche l'insieme degli elementi invertibili di \(\mathbb{K}[X]\). Ora, un polinomio \(p(x) \in \mathbb{K}[X]\) è irriducibile se l'unico modo di fattorizzarlo ha la seguente forma, con \(a \in \mathbb{K}^*\)

\[p(x) = a \cdot (a^{-1} \cdot p(x))\]

Detto altrimenti, un polinomio \(p(x) \in \mathbb{K}[X]\) è irriducibile se non può essere espresso come il prodotto di due polinomi di grado strettamente minore.

Trovare polinomi irriducibili in un qualunque campo \(\mathbb{K}\) è abbastanza difficile. Però, se assumiamo che \(\mathbb{K}\) è un campo algebricamente chiuso, allora le cose si semplificano. Ricordiamo che un campo \(\mathbb{K}\) è algebricamente chiuso se ogni polinomio non costante a coefficienti in \(\mathbb{K}\) ha almeno una radice in \(\mathbb{K}\). Ad esempio, \(\mathbb{R}\) non è algebricamente chiuso, in quanto il polinomio \(3x^3 + 1 = 0\) non è costante ed ha cofficienti in \(\mathbb{R}\), ma le uniche radici sono complesse e non reali. Sia quindi \(K = \bar{K}\) un campo algebricamente chiuso e sia \(f(x) \in K[X]\) con grado \(d > 0\). Dalle assunzioni fatte sappiamo che \(f(x)\) ha sempre almeno una radice in \(\mathbb{K}\). In realtà, dal teorema fondamentale dell'algebra, sappiamo che \(f(x)\) ha \(k\) radici distinte \(a_1, ..., a_k\), ciascuna con molteplicità \(m_1, ..., m_k\), e che \(\sum_{i=1}^{k} m_i = d\). Come conseguenza del Teorema di Ruffini, sappiamo poi che

\[f(x) = a \prod_{i=1}^k {(x - a_i)^{m_i}}\]

dove \(a\) è il coefficiente del termine di grado maggiore. Possiamo quindi vedere che, nel caso di campi algebricamente chiusi, gli unici elementi irriducibili sono tutti e soli polinomi di grado 1. Infatti, quelli di grado 0, le costanti, sono invertibili, mentre quelli di grado \(d > 1\), dall'esistenza di almeno una radice e dal teorema di ruffini, possono sempre essere spezzati come prodotti di polinomi di grado strettamente minore di \(d\), e quindi sono riducibili.

Sia \(A = \mathbb{Z}^{+}\) e sia \(p \in A\) un elemento primo. Siano \(a, b, \in A\) tale che \(p = ab\). Dire che \(p = ab\) è equivalente a dire che \(1p = ab\), ovvero che \(p \mid ab\).

Ora, se \(p \nmid a\), allora, per il fatto che \(p\) è primo, sappiamo che \(p \mid b\). Ma se \(p \mid b\), allora \(\exists h \in A : b = ph\). Considerando anche che \(p = ab\), otteniamo \(p = a(ph)\), e visto che \(A\) è un dominio di integrità e \(p \neq 0\), possiamo dividere per \(p\) in modo da ottenere \(1 = ah\). Abbiamo quindi che \(a\) è un elemento invertibile e \(p\) è stato fattorizzato banalmente.

Se invece \(p \mid a\), ripetendo il ragionamento troviamo nuovamente una fattorizzazione banale di \(p\).

In ogni caso quindi \(p\) può essere fattorizzato solamente in modo banale, ovvero in modo tale che o \(a\) o \(b\) siano elementi invertibili. Da questo concludiamo che \(p\) è un elemento irriducibile.

\[\tag*{$\checkmark$}\]

Siano \(a, b, p \in \mathbb{Z}\) con \(p\) irriducibile, \(p \mid ab\) e \(p \nmid a\).

Essendo \(p\) irriducibile, abbiamo che l'unico fattore, non banale, che \(p\) e \(a\) potrebbero condividere è proprio \(p\). Sapendo però che \(p \nmid a\), possiamo escludere anche questo unico fattore. Dunque \(p\) e \(a\) non condiviono fattori, ovvero sono coprimi. Possiamo quindi scrivere \(MCD(p, a) = 1\), e, per quello che abbiamo sull'identità di Bézut, sappiamo che

\[\exists \alpha, \beta \in \mathbb{Z} : \alpha p + \beta a = 1 \]

da \(p \mid ab\) otteniamo poi che \(\exists h \in \mathbb{Z} : ph = ab\). Mettendo tutto assieme troviamo

\[\begin{split} b &= b\cdot1 \\ &= b(\alpha p + \beta a) \\ &= \alpha pb + \beta ab \\ &= \alpha pb + \beta ph \\ &= p(\alpha b + \beta h) \\ &= pk, \quad k \in \mathbb{Z} \end{split}\]

ovvero, \(p \mid b\).

\[\tag*{$\checkmark$}\]

Avendo dimostrato entrambi i lati, abbiamo terminato la dimostrazione.

\[\tag*{$\blacksquare$}\]

Osservazione: Notiamo che, mentre la prima implicazione (primo \(\Rightarrow\) irriducibile) è banale ed è vera in qualsiasi dominio di integrità, l'implicazione opposta (irriducibile \(\Rightarrow\) primo), non è banale, ed è vera solamente negli anelli euclidei in cui è presente l'identità di Bézut. Tra le altre cose, l'unicità della fattorizzazione in \(\mathbb{Z}\) segue direttamente da questa implicazione non banale.