MD - 01 - Insiemi

[2015-10-05 lun]

In questa lezione abbiamo introdotto la teoria degli insiemi discutendo del concetto di insieme e definendo le operazioni più comuni che è possibile effettuare su due o più insiemi.

Per poter fare matematica necessitiamo di un linguaggio appropriato che ci permetta di esprimere le idee e i concetti che danno forma agli oggetti matematici a cui siamo interessati. Il linguaggio matematico moderno è basato sulla teoria degli insiemi. Come primo argomento di questo corso quindi introduciamo il concetto di insieme.

Con l'intento di semplificare la trattazione matematica defineremo il concetto di insieme in modo intuitivo. Per noi un insieme sarà infatti una generica "collezione" di oggetti. Questa scelta, anche se non è formale, è stata fatta in quanto l'obiettivo di questo corso non è quello di presentare il massimo rigore logico possibile, quanto piuttosto quello di introdurre la formalità del pensiero matematico in modo moderato e graduale. L'obiettivo del corso infatti è proprio quello di insegnare come pensare in modo matematico. Utilizzando le basi imparate chi vorrà avrà poi gli strumenti necessari per approfondire la propria conoscenza matematica, eventualmente anche nella direzione dei sistemi formali e della costruzione formale della teoria degli insiemi.

Come è solito fare in matematica, si inizia quindi con delle definizioni, che permettono al matematico, e a chi fa matematica, di creare nel proprio pensiero dei particolari oggetti astratti. Nel nostro caso particolare il concetto che vogliamo plasmare è quello di insieme.

Definizione: Un insieme è una "collezione" di oggetti.

Una volta creato, dobbiamo anche poterlo utilizzare in qualche modo, altrimenti che senso aveva crearlo? In altre parole, dobbiamo poter parlare dell'oggetto astratto creato da una definizione. A tale fine necessitiamo di un linguaggio appropriato, il linguaggio della matematica. Tipicamente quindi alle definizioni seguono una serie di notazioni e di simboli. Queste notazioni vengono utilizzate sia per descrivere meglio le varie caratteristiche dell'oggetto in questione e sia per descrivere come l'oggetto in questione si relaziona con altri oggetti precedentemente creati.

Nel nostro caso ad esempio l'oggetto astratto creato è un insieme, che come abbiamo detto è una collezione di oggetti, dove per oggetti intendiamo qualsiasi cosa a cui possiamo pensare. Per poter descrivere un insieme esistono due tipologie distinte di notazioni:

• Notazione esplicita: La notazione esplicita consiste nello scrivere in modo esplicito tutti gli oggetti che fanno parte dell'insieme, ed ha la seguente forma

  \[X = \{x_1, x_2, \ldots, x_n\}\]

  dove \(X\) è il simbolo che rappresenta l'insieme, e \(x_1, x_2, \ldots x_n\) sono i simboli che rappresentano gli oggetti contenuti nell'insieme.

• Notazione implicita: In quest'altro tipo di notazione invece al posto di descrivere in modo esplicito i vari oggetti utilizziamo una descrizione implicita della forma "se \(a\) gode di <questa proprietà>, allora \(a\) fa parte dell'insieme \(A\)", dove ovviamente <questa proprietà> può essere una qualsiasi proprietà. Questa notazione ha la seguente forma

  \[A = \{a \,\,|\,\, a \text{ gode della proprietà...}\}\]

Provate a capire il particolare tipo di notazione utilizzata negli esempi a seguire:

• \(X = \{1, 2, 3\}\)
• \(Y = \{\text{Alex}, \,\,\text{Bob}\}\)
• \(Z = \{a \,\, | \,\, a \text{ è una persona che festeggia il compleanno il 20 luglio}\}\)

Siano \(A, B, E\) insiemi, con \(A \subseteq E\), \(B \subseteq E\). Definiamo le seguenti operazioni

• Unione:

  \[A \cup B := \{x \,\,|\,\, (x \in A) \lor (x \in B)\}\]

• Intersezione:

  \[A \cap B := \{x \,\,|\,\, (x \in A) \land (x \in B)\}\]

• Differenza:

  \[A \setminus B := \{x \,\,|\,\, (x \in A) \land (x \not \in B)\}\]

• Complementare:

  \[C_E(A) := E \setminus A\]

• Differenza Simmetrica:

  \[A \mathbin{\oplus} B := (A \cup B) \setminus (A \cap B)\]

• Prodotto Cartesiano:

  \[A \times B := \{(a, b) \,\,|\,\, a \in A, b \in B\}\]

Notiamo le seguenti cose rispetto alle operazioni appena definiti.

• Se \(A \cap B = \emptyset\), allora l'unione \(A \cup B\) si dice disgiunta.
• \(A \mathbin{\oplus} B := (A \setminus B) \cup (B \setminus A)\)
• \(A \cap B \subseteq A \subseteq A \cup B\), e stessa cosa per \(B\).
• \(\cup, \cap\) e \(\times\) possono essere estese a più insiemi.
• Se \(A \neq B\), allora \(A \times B \neq B \times A\), ovvero l'ordine nelle coppie conta.

Per ogni insiemi \(A, B, C, E\), con \(A, B, C \subseteq E\) le operazioni appena definite hanno le seguenti proprietà:

• Associatività di \(\cup, \cap \mathbin{\oplus}\)
  • \((A \cap B) \cap C = A \cap(B \cap C)\)
  • \((A \cup B) \cup C = A \cup(B \cup C)\)
  • \((A \mathbin{\oplus} B) \mathbin{\oplus} C = A \mathbin{\oplus} ( B \mathbin{\oplus} C)\)
• Commutatività di \(\cup, \cap \mathbin{\oplus}\)
  • \(A \cap B = B \cap A\)
  • \(A \cup B = B \cup A\)
  • \(A \mathbin{\oplus} B = B \mathbin{\oplus} A\)
• Elementi speciali
  • \(A \cup \emptyset = A, \,\, A \cap \emptyset = \emptyset\)
  • \(A \cup E = E, \,\, A \cap E = A\)
  • \(A \mathbin{\oplus} \emptyset = A, \,\, A \mathbin{\oplus} A = \emptyset\)
  • \(A \mathbin{\oplus} E = C_{E}(A)\)
• Distributività
  • \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\)
  • \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\)
• Leggi di De Morgan
  • \(A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)\)
  • \(A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C)\)

Definizione: Se \(E\) è un insieme, si dice partizione di \(E\) un sottoinsieme dell'insieme delle parti di \(E\), denotato \(\{E_i \,\,|\,\, i \in I\} \subseteq P(E)\) tale che valgono le seguenti due proprietà

1. Proprietà di Ricoprimento:

   \[\bigcup\limits_{i \in I} E_i = E\]

2. Proprietà di Disgiunzione:

   \[\forall i \neq j: \,\, E_i \cup E_j = \emptyset\]