AR - 10 - Cascate Informative II

Supponiamo adesso che il primo individuo riceve il segnale \(g\). Allora le sue probabilità sullo stato del mondo vengono aggiornate come segue

\[\begin{split} P(G|g) &= \frac{P(g|G) \cdot P(G)}{p(g)} \\ &= \frac{P(g|G) \cdot P(G)}{P(g|G) \cdot P(G) + P(g|B) \cdot P(B)} \\ &= \frac{q \cdot p}{q \cdot p + (1 - q) \cdot (1-p)} \end{split}\]

Notiamo poi che \(q > \frac12\), e quindi \(1 - q < q\). Da questo segue che

\[\begin{split} \frac{q \cdot p}{q \cdot p + (1 - q) \cdot (1-p)} &> \frac{q \cdot p}{q \cdot p + q \cdot (1-p)}\\ &= \frac{q \cdot p}{q \cdot (p + 1 - p)} \\ &= p \end{split}\]

Dunque abbiamo trovato che

\[P(G | g) > p\]

e quindi ricevere il segnale \(g\) va ad aumentare la probabilità dello stato \(G\). Un risultato analogo vale per il caso \(P(B | b)\).

Consideriamo adesso una sequenza di segnali

\[S = s_1, s_2, ..., s_n, \,\,\,\ \forall i = 1,...,n: s_i \in \{g, b\}\]

e poniamoci il seguente quesito: in quali casi la sequenza \(S\) supporta uno dei due possibili stati? Utilizzando Bayes otteniamo,

\[\begin{split} P(G|S) &= \frac{P(S|G) \cdot P(G)}{p(S)} \\ &= \frac{P(S|G) \cdot P(G)}{P(S|G) \cdot P(G) + P(S|B) \cdot P(B)} \end{split}\]

Per procedere assumiamo che gli eventi sono indipendenti tra loro, e inoltre che li vedo tutti assieme. Da queste ipotesi segue che non mi interessa il particolare ordine in cui arrivano i segnali. Posso quindi assumere che in \(S\) ci siano \(\alpha\) segnali di tipo \(g\) e \(\beta\) segnali di tipo \(b\) per ottenere,

\[P(G|S) = \frac{q^{\alpha} \cdot (1 - q)^{\beta} \cdot p}{q^{\alpha} \cdot (1 - q)^{\beta} \cdot p + (1 - q)^{\alpha} \cdot q^{\beta} \cdot (1-p)}\]

A questo punto abbiamo tre possibili casi:

• Se \(\alpha = \beta\), allora

  \[P(G|S) = \frac{q^{\alpha} \cdot (1 - q)^{\alpha} \cdot p}{q^{\alpha} \cdot (1 - q)^{\alpha}} = p\]

• Se \(\alpha > \beta\), allora

  \[(1 - q)^{\alpha} \cdot p^{\beta} < (1 - q)^{\beta} \cdot q^{\alpha - \beta} \cdot q^{\beta} = (1 - q)^{\beta} \cdot q^{\alpha}\]

  e quindi,

  \[P(G|S) > \frac{q^{\alpha} \cdot(1 - q)^{\beta} \cdot p}{q^{\alpha} \cdot(1 - q)^{\beta} \cdot p + q^{\alpha} \cdot(1 - q)^{\beta} \cdot (1-p)} = p\]

• Se \(\alpha < \beta\), allora

  \[P(G|S) < p\]

Ritorniamo ora nel modello in cui i segnali sono privati e andiamo a calcolare la probabilità che si inneschi la cascata. A tale fine definiamo i seguenti eventi

• \(C_n :=\) Si innesca una cascata al passo \(n\)

• \(C_{\leq n} :=\) Si innesca una cascata entro il passo \(n\)

Notiamo che l'evento \((S_{n-2} = S_{n-1} = S_n)\) è una condizione sufficiente alla generazione di una cascata. Vale quindi la seguente relazione

\[P(C_n) \geq P(S_{n-2} = S_{n-1} = S_n)\]

Continuamo quindi calcolando

\[\begin{split} P(S_{n-2} = S_{n-1} = S_n) &= P(S_{n-2} = S_{n-1} = S_n | S_n = g) \cdot p(g) \\ &\,\,\,\,\, + P(S_{n-2} = S_{n-1} = S_n | S_n = b) \cdot P(b)\\ &= P(ggg) + P(bbb) \\ &= P(ggg | G) \cdot P(G) + P(ggg | B) \cdot P(B) \\ &\,\,\,\,\, + P(bbb | G) \cdot P(G) + P(bbb | B) \cdot P(B) \\ &= q^3 \cdot p + (1-q)^3 \cdot (1-p) + (1-q)^3 \cdot p + q^3 \cdot (1-p) \\ &= q^3 + (1-q)^3 \end{split}\]

Consideriando poi il complemento di \(C_n\), troviamo che

\[P(\neg C_n) \leq 1 - (q^3 + (1-q)^3)\]

Consideriamo adesso l'evento \(\neg C_{\leq n}\), ovvero l'evento che non si verifica una cascata entro il passo \(n\). Notiamo che

\[\begin{split} P(\neg C_{\leq n}) &< P(\neg (S_1 = S_2 = S_3) \land \\ &\;\;\;\;\;\neg (S_4 = S_5 = S_6) \land \\ &\;\;\;\;\;\ldots \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\, \land \\ &\;\;\;\;\;\neg (S_{n-2} = S_{n-1} = S_n)) \\ &= \prod_{i = 1}^{\frac{n}{3} -1} P(\neg (S_{3i} = S_{3i+1} = S_{3i+2})) \\ &= [1 - (q^3 + (1-q)^3)]^{\frac{n}{3}} \\ \end{split}\]

Dal fatto che \(1 - (q^3 + (1-q)^3) < 1\), segue che

\[\lim_{n \to \infty} P(\neg C_{\leq n}) = 0\]

e quindi la cascata informativa si innesca a.s. (almost surely).