ISTI - Esercizio 1

Date due v.a. $X, Y \sim \mathcal{N}(0, 1)$, trovare la distribuzione di $D := \frac{X^2 + Y^2}{2}$.

---

[2020-06-25 gio 14:11]

L'esercizio può essere facilmente svolto utilizzando il fatto che la somma di normali al quadrato segue una distribuzione chi quadro, ovvero che se $X_1, X_2, ..., X_n$ sono i.i.d. con $X_i \sim \mathcal{N}(0, 1)$, allora

$$X_1 + X_2 + ... + ... X_n \sim \chi^2(n)$$

Utilizzando questo risultato infatti troviamo

$$\begin{split} F_D(t) = P(D \leq t) &= P(\frac{X^2 + Y^2}{2} \leq t) \\ &= P(X^2 + Y^2 \leq 2t) \\ &= P(\chi^2(2) \leq 2t) \\ &= F_{\chi^2(2)}(2t) \end{split}$$

$$\tag*{$\checkmark$}$$