ISTI - Esercizio 1
Traccia
Date due v.a. \(X, Y \sim \mathcal{N}(0, 1)\), trovare la distribuzione di \(D := \frac{X^2 + Y^2}{2}\).
Svolgimento
L'esercizio può essere facilmente svolto utilizzando il fatto che la somma di normali al quadrato segue una distribuzione chi quadro, ovvero che se \(X_1, X_2, ..., X_n\) sono i.i.d. con \(X_i \sim \mathcal{N}(0, 1)\), allora
\[X_1 + X_2 + ... + ... X_n \sim \chi^2(n)\]
Utilizzando questo risultato infatti troviamo
\[\begin{split} F_D(t) = P(D \leq t) &= P(\frac{X^2 + Y^2}{2} \leq t) \\ &= P(X^2 + Y^2 \leq 2t) \\ &= P(\chi^2(2) \leq 2t) \\ &= F_{\chi^2(2)}(2t) \end{split}\]
\[\tag*{$\checkmark$}\]