ISTI - Esercizio 4

Vogliamo dimostrare che la somma di due v.a. con distribuzione gamma è una v.a. con distribuzione gamma. Formalmente,

\[\begin{cases} X \sim \Gamma(k_1, \lambda) \\ Y \sim \Gamma(k_2, \lambda) \\ X \perp\!\!\!\!\perp Y \\ \end{cases} \implies X + Y \sim \Gamma(k_1 + k_2, \lambda)\]

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Utilizzando la formula della convoluzione, discussa qui, otteniamo la seguente espressione per la densità di \(X+Y\)

\[\begin{split} f_{X+Y}(t) &= \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(t - x) \,\, dx \\ &= \int_{0}^{t} \frac{\lambda^{k_1} x^{k_1 - 1} e^{-\lambda x}}{\Gamma(k_1)} \cdot \frac{\lambda^{k_2} (t-x)^{k_2 - 1} e^{-\lambda (t-x)}}{\Gamma(k_2)} \,\, dx \\ &= \frac{\lambda^{k_1 + k_2}e^{-\lambda t}}{\Gamma(k_1)\Gamma(k_2)} \cdot \int_{0}^{t} x^{k_1 - 1}(t - x)^{k_2 - 1} \,\, dx \end{split}\]

Notiamo infatti che \(F_Y(t-x)\) è definito solo quando \(t - x > 0\) e quindi quando \(x < t\). Eseguendo la sostituzione \(u := x/t\) troviamo la seguente situazione

\[\begin{cases} du = \frac{dx}{t} \iff dx = t du \\ x = t u \\ t - x = t(1 - u) \\ x = 0 \implies u = 0 \\ x = t \implies u = 1 \end{cases}\]

l'integrale diventa quindi

\[\begin{split} \int_{0}^{t} x^{k_1 - 1}(t - x)^{k_2 - 1} dx &= \int_{0}^{1} (tu)^{k_1 - 1} (t(1-u))^{k_2 - 1} \,\, t \, du \\ &= t \cdot t^{k_1 - 1} \cdot t^{k_2 - 1} \int_{0}^{1} (u)^{k_1 - 1} (1-u)^{k_2 - 1} du \\ &= t^{k_1 + k_2 - 1} \int_{0}^{1} (u)^{k_1 - 1} (1-u)^{k_2 - 1} du \\ \end{split}\]

Andando a sostituire nella formula di partenza troviamo

\[f_{X+Y}(t) = \frac{\lambda^{k_1 + k_2}e^{-\lambda t}}{\Gamma(k_1)\Gamma(k_2)} \cdot t^{k_1 + k_2 - 1} \int_{0}^{1} (u)^{k_1 - 1} (1-u)^{k_2 - 1} \,\, du\]

Notiamo a questo punto che non dobbiamo calcolare l'integrale che ci è rimasto per sapere che \(X + Y\) segue una distribuzione delta, in quanto il "nucleo" di \(f_{X+Y}(t)\), ovvero la parte variabile in \(t\), è \(e^{-\lambda t} t^{k_1 + k_2 - 1}\), che è proprio il nucleo di una distribuzione delta.

\[\tag*{$\checkmark$}\]

Come ulteriore risultato possiamo esplicitare il valore dell'ultimo integrale. Per far questo ci basta osservare che \(f_{X+Y}(t)\) è la densità di una v.a. per sapere che integrandola rispetto a \(t\) su tutto il dominio dobbiamo ottenere necessariamente \(1\). Inoltre, da quanto già detto, \(X+Y\) è una gamma, e quindi la costante che moltiplica il nucleo della densità è proprio la costante di una delta. Mettendo assieme tutti i pezzi possiamo impostare

\[\frac{\lambda^{k_1 + k_2}}{\Gamma(k_1) \Gamma(k_2)} \int_{0}^{1}(u)^{k_1 - 1}(1-u)^{k_2 - 1} du = \frac{\lambda^{k_1 + k_2}}{\Gamma(k_1 + k_2)}\]

il che equivale a dire che

\[\int_{0}^{1}(u)^{k_1 - 1}(1-u)^{k_2 - 1} du = \frac{\Gamma(k_1) \Gamma(k_2)}{\Gamma(k_1 + k_2)}\]

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