ISTI - Esercizio 5

Sia \(Z \sim \mathcal{N}(0,1)\). Vogliamo studiare la distribuzione di \(Y = Z^2\), che prende il nome di distribuzione chi-quadrato

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Procediamo con i calcoli

\[\begin{split} P(Y \leq t) = P(Z^2 \leq t) &= P(-\sqrt{t} \leq Z \leq \sqrt{t}) \\ &= \Phi(\sqrt{t}) - \Phi(-\sqrt{t}) \\ &= \Phi(\sqrt{t}) - (1 - \Phi(\sqrt{t})) \\ &= 2\Phi(\sqrt{t}) - 1 \end{split}\]

Derivando l'espressione appena calcolata otteniamo la densità di \(Y\), che è pari a

\[\begin{split} f_Y(t) = \frac{d}{dt} F_Y(t) &= \frac{d}{dt} 2\Phi(\sqrt{t}) - 1 \\ &= 2\phi(\sqrt{t}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}} \\ &= \frac{\phi(\sqrt{t})}{\sqrt{t}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}t^{-1/2}e^{-t/2} \end{split}\]

A questo punto osserviamo che tale densità è la densità di una gamma con parametri \(1/2, 1/2\). Infatti, se \(X \sim \Gamma(1/2, 1/2)\), allora

\[f_X(t) = \frac{1}{\sqrt{2}}t^{-1/2}e^{-t/2}\frac{1}{\Gamma(1/2)}\]

e dato che \(\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}\), abbiamo il seguente risultato

\[Y \sim \Gamma(1/2, 1/2) \sim \chi^2(1)\]

La somma di \(k\) v.a. indipendenti con distribuzione \(\chi^2(1)\), ovvero la distribuzione di \(k\) quadrati di normali standard \(\mathcal{N}(0,1)\) indipendenti si rappresenta con \(\chi^2(k)\), e viene chiamata distribuzione chi-quadro con k parametri di libertà. Notiamo che dall'esercizio di prima segue che \(\chi^2(k)\) è una gamma di parametri \(\Gamma(k/2, 1/2)\).

\[\tag*{$\checkmark$}\]

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