ISTI - Esercizio 6

In questo caso abbiamo che

\[P(S_k \leq t) = \int_{0}^t \lambda e^{-\lambda x} dx = \;\; -e^{-\lambda x}\underset{0}{\overset{t}{|}} \; = 1 - e^{-\lambda t}\]

Notiamo inoltre che un risultato noto della statistica ci dice che \(S_1 \sim \Gamma(1, \lambda) \sim Exp(\lambda)\), e la funzione di ripartizione di una esponenziale è proprio \(1 - e^{-\lambda t}\).

Questa volta invece procediamo integrando per parti

\[\begin{split} P(S_2 \leq t) &= \int_0^t \frac{\lambda^2 x e^{-\lambda x}}{} dx \\ &= -\lambda \int_0^t x (-\lambda e^{-\lambda x}) dx \\ &= -\lambda ( xe^{-\lambda x} \underset{0}{\overset{t}{|}} \; - \int_0^t e^{-\lambda x} )dx \\ &= -\lambda t e^{-\lambda t} + (1 - e^{-\lambda t}) \end{split}\]

In questo caso, sempre integrando per parti otteniamo la seguente formula

\[P(S_3 \leq t) = 1 - \sum_{k = 0}^2 \frac{(\lambda t)^k e^{-\lambda t}}{k!}\]

In generale è possibile dimostrare per induzione su \(k \in \mathbb{N}\) la seguente formula

\[P(S_k \leq t) = 1 - \sum_{i = 0}^{k-1} \frac{(\lambda t)^i}{i!} \cdot e^{-\lambda t}\]

Dimostrazione: Il passo base per \(k=1\) è stato già dimostrato. Procediamo quindi con il passo induttivo, per \(k > 1\). A tale fine assumiamo che la formula vale per \(k-1\) e dimostriamola per \(k\). Integrando per parti otteniamo

\[\begin{split} P(S_k \leq t) &= \int\limits_{-\infty}^t \frac{\lambda^k \cdot k^{k-1}}{(k-1)!} \cdot e^{-\lambda x} \,\, dx \\ &= -\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} \cdot \int\limits_{-\infty}^t \underbrace{x^{k-1}}_{f(x)} \cdot \underbrace{-\lambda e^{-\lambda x}}_{g(x)} \,\, dx \\ &= -\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} \cdot \Big[ t^{k-1} e^{-\lambda t} - \int\limits_{-\infty}^t (k-1) \cdot x^{k-2} e^{-\lambda x} \,\, dx \Big] \\ &= -\frac{(\lambda t)^{k-1}}{(k-1)!} \cdot e^{-\lambda t} + \int\limits_{-\infty}^t \frac{\lambda^{k-1} x^{k-2} e^{-\lambda x}}{(k-2)!} \,\, dx \\ \end{split}\]

possiamo adesso utilizzare l'ipotesi induttiva per concludere

\[\begin{split} P(S_k \leq t) &= -\frac{(\lambda t)^{k-1}}{(k-1)!} \cdot e^{-\lambda t} + \int\limits_{-\infty}^t \frac{\lambda^{k-1} x^{k-2} e^{-\lambda x}}{(k-2)!} \,\, dx \\ &= -\frac{(\lambda t)^{k-1}}{(k-1)!} \cdot e^{-\lambda t} + \Big(1 - \sum\limits_{j = 0}^{k-2} \frac{(\lambda t)^j}{j!} \cdot e^{-\lambda t} \Big) \\ &= 1 - \sum\limits_{j = 0}^{k-1} \frac{(\lambda t)^j}{j!} \cdot e^{-\lambda t} \\ \end{split}\]

\[\tag*{$\blacksquare$}\]

La formula appena trovata può essere utilizzata per calcolare la legge di un processo di Poisson. Un processo di Poisson è un processo di conteggio che viene utilizzato per contare "eventi rari", ovvero eventi che avvengono secondo una legge esponenziale di parametro \(\lambda\). Per ulteriori approfondimenti su queste tematiche riportiamo al corso di probabilità 2, disponibile nel seguente CP2.

\[\tag*{$\checkmark$}\]

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