ISTI - Coordinate Polari

Consideriamo il seguente integrale doppio

\[\iint\limits_D e^{-(x^2 + y^2)} \,\, dy\,dx \,\,\,\, , \,\,\,\, D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: \,\, x = \sqrt{4 - y^2}\}\]

Procediamo quindi con i vari steps come descritti in precedenza:

• Per esprimere \(f(x, y) = e^{-(x^2 + y^2)}\) in funzione di \(r\) e \(\theta\) utilizziamo l'identità dimostrata in precedenza per ottenere la seguente espressione

  \[e^{-(x^2 + y^2)} = e^{-r^2}\]

• Per esprimere \(dx\) e \(dy\) in funzione di \(dr\) e \(d\theta\) utilizziamo la trasformazione standard

  \[dy \, dx \longrightarrow r \cdot \, dr \, d\theta\]

• Infine, per rappresentare il dominio \(D\) in funzione di \(r\) e \(\theta\) una cosa molto utile da fare è rappresentarlo. Nel nostro caso troviamo il seguente dominio di integrazione

  

  dalla figura possiamo notare che tutti i punti nel dominio \(D\) si trovano ad una distanza dall'origine compresa tra \(0\) e \(2\). Ma allora il valore di \(r\) in \(D\) varia da \(0\) e \(2\), e quindi \(r \in [0, 2]\). Per quanto riguarda il valore di \(\theta\), abbiamo che esso varia da \(-\pi/2\) a \(\pi/2\), e quindi \(\theta \in [-\pi/2, \pi/2]\).

Mettendo tutto assieme otteniamo la seguente trasformazione

\[\underbrace{\iint\limits_D e^{-(x^2 + y^2)} \,\, dy \, dx}_{\text{coordinate cartesiane}} \,\, = \,\, \underbrace{\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int\limits_0^2 e^{-r^2} \cdot r \,\, dr \, d\theta}_{\text{coordinate polari}}\]

Notiamo che adesso l'integrale è diventato molto più semplice da calcolare. Troviamo infatti il seguente risultato

\[\begin{split} \int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int\limits_0^2 e^{-r^2} \cdot r \,\, dr \, d\theta \,\, &= \int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \Big[ -\frac{e^{-r^2}}{2} \;\; \underset{r=0}{\overset{r=2}{|}} \;\Big]\\ &= \int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} -\frac{e^{-4}}{2} + \frac12 \,\, d\theta \\ &= \Big[ -\frac{e^{-4}}{2} \cdot \theta + \frac12 \cdot \theta \;\; \underset{\theta=-\frac{\pi}{2}}{\overset{\theta=\frac{\pi}{2}}{|}} \Big] \\ &= -\frac{e^{-4}}{2} \cdot \frac{\pi}{2} + \frac12 \cdot \frac{\pi}{2} - \Big(\frac{e^{-4}}{2} \cdot \frac{\pi}{2} - \frac12 \cdot \frac{\pi}{2}\Big) \\ &= -e^{-4} \cdot \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \\ &= \frac{\pi}{2} \cdot \Big(1 - e^{-4}\Big) \\ \end{split}\]

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Riassumendo, abbiamo trovato che

\[\iint\limits_D e^{-(x^2 + y^2)} \,\, dy\,dx = \frac{\pi}{2} \cdot \Big(1 - e^{-4}\Big)\]

per concludere questo esempio, notiamo che dal punto di vista geometrico abbiamo effettuato la seguente trasformazione dello spazio

Consideriamo il seguente integrale doppio

\[\iint\limits_D \frac{1}{2\pi} e^{-\frac12 \cdot (x^2 + y^2)} \,\, dy\,dx \,\,\,\, , \,\,\,\, D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: y \geq -x \}\]

Procediamo quindi eseguendo i soliti passi per esprimere il nostro integrale in coordinate polari:

• La funzione da integrare \(f(x, y)\) viene espressa nel seguente modo

  \[\frac{1}{2\pi} e^{-\frac12 \cdot (x^2 + y^2)} = \frac{1}{2\pi} e^{-\frac12 \cdot r^2}\]

• Per quanto riguarda il dominio \(D\) invece, rappresentandolo troviamo la seguente figura

  

  troviamo quindi che \(r \in [0, +\infty)\) e \(\theta \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]\).

Mettendo tutto assieme otteniamo

\[\begin{split} \iint\limits_D \frac{1}{2\pi} e^{-\frac12 \cdot (x^2 + y^2)} \,\, dy\,dx &= \int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \int\limits_0^{\infty} \frac{1}{2\pi} e^{-\frac12 r^2} r \, dr d\theta \\ &= \int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{1}{2\pi} \cdot 1 \, dr d\theta \\ &= \frac{1}{2\pi} \cdot \big(\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \big) \\ &= \frac12 \\ \end{split}\]