ASD 03b - Funzioni Polinomiali

Tra tutte le possibili funzioni in matematica, ce ne sono alcune che vengono dette funzioni elementari, in quanto sono utilizzate per formare funzioni più complesse. Tra le funzioni elementari troviamo anche le funzioni polinomiali. Le funzioni polinomiali sono estremamente utili e importanti nel nostro studio degli algoritmi. In questa lezione ripassiamo velocemente che cos'è una funzione polinomiale, facendone vedere qualche esempio, e riportando infine alcune proprietà che rendono le funzioni polinomiali molto interessanti.

Partiamo con una definizione.

Def: Una funzione \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) è detta funzione polinomiale quando può essere scritta nel seguente modo

\[f(x) := a_0 + a_1x^1 + a_2x^2 + \ldots + a_nx^n\]

dove \(a_0, a_1, \ldots, a_n\) sono coefficienti presi da un dato insieme \(A\) (tipicamente \(A = \mathbb{Q}\), ovvero l'insieme dei numeri razionali), mentre \(x\) è un punto del dominio \(\mathbb{R}\).

Di particolare importanza è il valore \(n\), ovvero il valore dell'esponente più grande. Questo valore è detto grado del polinomio.

Per chiarire cosa significa l'espressione data prima procediamo con qualche esempio e qualche controesempio

\[\begin{split} f(x) &= 2x + 5 \,\,\,\,\,\, &\text{ (è un polinomio di grado 1) } \\ \\ g(x) &= x^2 + x^3 \,\,\,\,\,\, &\text{ (è un polinomio di grado 3) } \\ \\ h(x) &= 2^x \,\,\,\,\,\, &\text{ (non è un polinomio) } \\ \\ l(x) &= \frac{2x + 5}{x^2 + x^3} \,\,\,\,\,\, &\text{ (non è un polinomio) } \\ \end{split}\]

Andiamo adesso a vedere due casi particolari, che tipicamente vengono affrontati in modo approfondito nelle scuole medie/superiori: il caso di polinomi il cui grado massimo è \(n = 1\) (rette), e quello di polinomi in cui il grado massimo è \(n = 2\) (parabole).

La funzione \(f(x) := 2x + 5\) è una funzione polinomiale. Andiamo adesso a calcolare il valore assunto da \(f(x)\) per qualche valore di \(x\).

\[\begin{split} f(0) &= 2 \cdot 0 + 5 &= 5 \\ f(1) &= 2 \cdot 1 + 5 &= 7 \\ f(2) &= 2 \cdot 2 + 5 &= 9 \\ \end{split}\]

Se andiamo a visualizzare come \(f\) mappa i valori nel piano cartesiano otteniamo la seguente figura

come possiamo vedere, quello che otteniamo è una retta. Detto altrimenti, la nostra funzione \(f(\cdot)\) cresce in modo lineare. Questa crescita lineare è conseguenza del fatto che l'espressione di \(f(\cdot)\) è un polinomio di grado \(1\).

Data la loro forma algebrica molto semplice, sulle rete è possibile dire tante cose. Ad esempio se vogliamo calcolare il punto nell'asse delle \(x\) in cui la retta assume il valore \(0\), ci basta impostare e risolvere l'equazione \(f(x) = 0\) per ottenere

\[\begin{split} f(x) = 0 &\iff 2x + 5 = 0 \\ &\iff 2x = - 5 \\ &\iff x = -\frac{5}{2} \\ \end{split}\]

Quanto visto prima può essere generalizzato come segue: al posto di avere dei valori specifici come coefficienti, lavoriamo con dei parametri generali, ovvero con un'espressione della forma

\[f(x) := ax + b\]

Ora, nuovamente, se vogliamo capire il punto nell'asse delle \(x\) in cui la retta assume il valore \(0\), procediamo come abbiamo fatot prima impostando \(f(x) = 0\) per ottenere

\[\begin{split} f(x) = 0 &\iff ax + b = 0\\ &\iff ax = -b \\ &\iff x = -\frac{a}{b} \\ \end{split}\]

Il cofficiente \(a\) è detto coefficiente angolare in quanto determina l'angolazione della retta rispetto all'origine. Più grande è \(a\) in valore assoluto, ovvero non considerando il segno, e più la retta sarà pendente.

Il segno di \(a\) invece determina la direzione della retta.

Il coefficient \(b\) invece è detto termine noto, e regola l'altezza della retta rispetto l'asse delle \(x\).

La funzione \(f(x) := 2x^2 + 3x - 5\) è una funzione polinomiale, ed assume i seguenti valori

\[\begin{split} f(-2) & = 2 \cdot (-2)^2 + 3 \cdot (-2) - 5 = 8 - 6 - 5 &= -3 \\ f(-1) & = 2 \cdot (-1)^2 + 3 \cdot (-1) - 5 = 2 - 3 - 5 &= -6 \\ f(0) &= 2 \cdot (0)^2 + 3 \cdot (0) - 5 = 0 + 0 - 5 &= -5 \\ f(1) &= 2 \cdot (1)^2 + 3 \cdot (1) - 5 = 2 + 3 - 5 &= 0 \\ f(2) &= 2 \cdot (2)^2 + 3 \cdot (2) - 5 = 8 + 6 - 5 &= 9 \\ \end{split}\]

Nuovamente, possiamo visualizzare come \(f\) mappa i valori nel piano cartesiano

come è possibile vedere, la forma di \(f(x)\) non è più una retta, ma è diventata un parabola.

In generale una parabola è una funzione polinomiale di grado \(2\), ovvero una funzione \(f(\cdot)\) espressa dal seguente polinomio

\[f(x) := ax^2 + bx + c\]

dove (tipicamente) \(a, b, c\) sono coefficienti in \(\mathbb{Q}\).

Tra le possibili caratteristiche di una parabola ricordiamo in particolare le seguenti:

  • Radici: Le radici di \(f(x)\), ovvero i valori \(x_1, x_2\) in cui \(f(x)\) si annulla, possono essere calcolati tramite la famosa formula quadratica, riportata a seguire

    \[x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}\]

    A seconda del valore di \(\Delta := \sqrt{b^2 - 4c}\) abbiamo tre diverse situazioni.

    Come è possibile vedere, nel primo caso abbiamo due distinte radici \(x_1 \neq x_2\), nel secondo caso abbiamo una sola radice \(x_1 = x_2\), e nel terzo caso non abbiao nessuna radice, ovvero la parabola non tocca mai l'asse delle \(x\).

    Se poi abbiamo che il termine \(a < 0\) allora troviamo le stesse tre possibili situazioni, ma in cui la parabola al posto di "puntare" verso l'alto "punta" verso il basso.

  • Vertice: Il vertice della parabola, definito come il valore \(x_v\) in cui la parabola assume il massimo/minimo valore è invece calcolato con la seguente formula

    \[x_v = -\frac{b}{2a}\]

Per finire questa lezione andiamo a vedere alcune delle motivazioni che rendono le funzioni polinomiali estremamente utili. Le motivazioni che voglio proporre sono due, e sono:

  • Proprietà di chiusura: I polinomi possono essere combinati tra loro con le operazioni aritmetiche elementari senza uscire dalla classe dei polinomi.

  • Semplicità di calcolo: I polinomi sono semplici da calcolare.

Analizziamo in maggior dettaglio ciascuna motivazione.

Consideriamo due polinomi particolari

\[\begin{split} f(x) &:= 2x^2 + 3x - 5 \\ g(x) &:= x^5 + 3x^2 + 2 \\ \end{split}\]

andiamo adesso a combinare questi polinomi tra loro. Tra tutte le possibili combinazioni in particolare consideriamo le seguenti:

  • Somma

    \[\begin{split} \sigma(x) &:= f(x) + g(x) \\ &= (2x^2 + 3x - 5) + (x^5 + 3x^2 + 2) \\ &= x^5 + 5x^2 + 3x - 3 \\ \end{split}\]

  • Prodotto

    \[\begin{split} p(x) &:= f(x) \cdot g(x) \\ &= (2x^2 + 3x - 5) \cdot (x^5 + 3x^2 + 2) \\ &= 2x^7 + 6x^4 + 4x^2 + 3x^6 + 9x^3 + 6x - 5x^5 -15x^2 -10 \\ &= 2x^7 + 3x^6 - 5x^5 + 6x^4 + 9x^3 - 11x^2 + 6x - 10 \\ \end{split}\]

  • Sottrazione

    \[\begin{split} s(x) &:= f(x) - g(x) \\ &= (2x^2 + 3x - 5) - (x^5 + 3x^2 + 2) \\ &= 2x^2 + 3x -5 -x^5 -3x^2 - 2 \\ &= -x^5 -x^2 +3x - 7 \\ \end{split}\]

  • Composizione

    \[\begin{split} c(x) &:= f(g(x)) \\ &= f(x^5 + 3x^2 + 2) \\ &= 2 \cdot (x^5 + 3x^2 + 2)^2 + 3(x^5 + 3x^2 + 2) - 5 \\ &= 2 \cdot (x^5 + 3x^2 + 2) \cdot (x^5 + 3x^2 + 2) + 3 \cdot (x^5 + 3x^2 + 2) - 5 \\ &= \ldots \end{split}\]

La cosa fondamentale da notare è la seguente: risultato di tutte queste operazioni è nuovamente un altro polinomio.

Questo risultato non vale solo per i due polinomi che abbiamo visto in particolare, ma può essere generalizzato a due polinomi qualsiasi. L'idea quindi è che possiamo combinare polinomi tra loro tramite somma, prodotto, sottrazione e composizione senza uscire dalla classe delle funzioni polinomiali. Volendo schematizzare troviamo,

\[\begin{split} \text{polinomio } &+ \text{ polinomio} &= \text{polinomio} \\ \text{polinomio } &\times \text{ polinomio} &= \text{polinomio} \\ \text{polinomio } &- \text{ polinomio} &= \text{polinomio} \\ \text{polinomio } &\circ \text{ polinomio} &= \text{polinomio} \\ \end{split}\]

Un modo equivalente per affermare la stessa cosa consiste nel dire che la classe delle funzioni polinomiali è chiusa rispetto alla somma, al prodotto e alla composizione.

Consideriamo il seguente polinomio

\[f(x) = 3x^2 + 2x + 3\]

Per calcolare il valore del polinomio in un qualsiasi punto, diciamo \(x_0 = 5\), ci basta saper sommare e moltiplicare. Infatti,

\[\begin{split} f(5) &= 3 \cdot 5^2 + 2 \cdot 5 + 3 \\ &= 3 \cdot 5 \cdot 5 + 2 \cdot 5 + 3 \\ &= 75 + 10 + 3 \\ &= 88 \\ \end{split}\]

Questa semplicità di calcolo è una proprietà estremamente utile e interessante, ed è anche e sopratutto per questo che i polinomi sono utilizzati molto per approssimare numericamente funzioni più complesse.