ISTI - Lecture Notes Summary

Lecture Info

Variabili Aleatorie

• Variabili Aleatorie Discrete

• Variabili Aleatorie Continue

• Funzioni di Variabili Aleatorie

Formule Standard

• Valore Atteso

  • Formula per \(\mathbb{E}[g(X)]\)

  • Formula per \(\mathbb{E}[X^2]\)

• Varianza e Deviazione Standard

  • Formula \(Var[X] = \mathbb{E}[X^2] - \mathbb{E}[X]^2\)

• Disuguaglianza di Jensen

Distribuzioni Standard

• Distribuzioni Discrete

  • Funzione Indicatrice

  • Distribuzione Binomiale

  • Distribuzione Geometrica

  • Distribuzione di Poisson

• Distribuzioni Continue

  • Distribuzione Uniforme

  • Distribuzione Esponenziale

  • Distribuzione Normale

  • Distribuzione Gamma

  • Distribuzione Chi-Quadro

Lecture Info

Simulazione di Processi Stocastici

• Esempio 1: Simulazione di \(Exp(\lambda)\)

• Esempio 2: Simulazione di \(Bern(p)\)

• Esempio 3: Simulazione di \(\mathcal{N}(0, 1)\)

Normalizzazione di una v.a. Normale

Distribuzioni Multivariate

• Integrali Doppi

• Indipendenza con multiple v.a.

• Densità Marginale e Densità Congiunta

• Valore Atteso, Varianza e Matrice di Covarianza

Trasformazione di Box-Muller

Linguaggio R

Lecture Info

Somma di due variabili aleatorie

• Caso Discreto

• Caso Continuo: Convoluzione di Funzioni

Distribuzione Normale

• La Somma di due Normali è una Normale

• La Densità della Normale Standard fa \(1\)

• Relazione tra Normale e Binomiale

• Teorema Limite Centrale (TLC)

Distribuzione Multivariata di Normali

• Valore Atteso, Varianza e Matrice di Covarianza

• La Matrice di Covarianza è Semi-Definita Positiva

• Densità Multivariata

Informazioni Lezione

Convergenza

• Convergenza Puntuale

• Convergenza Uniforme

• Convergenza in Probabilità

• Convergenza in Distribuzione

  • TLC nel caso Multivariato

• Proprietà utili

Calcolo dei Momenti

• Momento di una Normale Standard

Informazioni Lezione

Funzione di Ripartizione Empirica

Statistiche D'ordine

• Distribuzione del massimo \(X_{(n)}\)

• Distribuzione del minimo \(X_{(1)}\)

• Distribuzione del \(k-\) esimo \(X_{(k)}\)

• Esempio: Massimo di \(n\) Uniformi

Informazioni Lezione

Cosa studia la Statistica

• Il calcolo degli Stimatori

  • Caratteristiche di uno Stimatore

  • Precisione di uno Stimatore

• Test di Significatività

• Campionamento

  • Problema del size bias

  • Come effettuare interviste delicate?

  • Inferire sulla Distribuzione tramite un Campione

Statistica Frequentia e Statistica Bayesiana

• Critiche all'approccio Bayesiano

• Esempio di Statistica Bayesiana

• Il Paradosso delle Buste

Informazioni Lezione

Stimatori

• Errore Quadratico

Stimatori per Distribuzione Normale

• Distribuzione di \(\hat{\mu} \sim \mathcal{N}(\mu, \frac{\sigma}{n})\)

• Distribuzione di \(S^2 \sim \frac{\sigma^2 \chi^2(n-1)}{n-1}\)

  • Calcolo del Valore Atteso \((\mathbb{E}[S^2] = \sigma^2)\)

  • Calcolo della Varianza \((Var[S^2] = \frac{2 \sigma^2}{n-1})\)

• Gli stimatori non-distorti sono sempre meglio?

Calcolo degli Stimatori

• Metodo dei Momenti

  • Esempio 1: \(Exp(\lambda)\)

  • Esempio 2: \(\mathcal{N}(\mu, \,\, \sigma^2)\)

  • Esempio 3: \(\Gamma(k, \,\, \lambda)\)

• Metodo della Massima Verosimiglianza

  • Esempio 1: \(X \sim Bin(n, p)\)

  • Esempio 2: \(X_i \sim \Gamma(k, \lambda)\)

Informazioni Lezione

Statistiche Sufficienti

• Come Trovare Statistiche Sufficienti

• Statistica Sufficiente Minima

Teorema di Rao-Blackwell

• Esempio

Bound di Cramér-Rao

• Dimostrazione

• Esempio 1: \(X_i \sim Poiss(\theta)\)

• Esempio 2: \(X_i \sim U[0, \theta]\)

Informazioni Lezione

Probabilità Condizionate

Distribuzioni a Priori Coniugate

• Beta coniugata Binomiale

• Gamma coniugata Poisson

• Normale coniugata Normale

Estendere il Metodo Bayesiano