ISTI - Esercizi

Segue una lista di esercizi trovati da varie fonti per l'esame di statistica all'università di Tor Vergata.

• 01

  Date due v.a. \(X, Y \sim \mathcal{N}(0, 1)\), trovare la distribuzione di \(D := \frac{X^2 + Y^2}{2}\).

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• 02

  Date \(X, Y \sim U[0, \theta]\), calcolare la distribuzione di \(U := X + Y\).

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• 03

  Date \(X, Y \sim \mathcal{N}(0, 1)\) indipendenti tra loro, trovare la distribuzione di \(U := \frac{Y}{X}\).

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• 04

  Vogliamo dimostrare che la somma di due v.a. con distribuzione gamma è una v.a. con distribuzione gamma. Formalmente,

  \[\begin{cases} X \sim \Gamma(k_1, \lambda) \\ Y \sim \Gamma(k_2, \lambda) \\ X \perp\!\!\!\!\perp Y \\ \end{cases} \implies X + Y \sim \Gamma(k_1 + k_2, \lambda)\]

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• 05

  Sia \(Z \sim \mathcal{N}(0,1)\). Vogliamo studiare la distribuzione di \(Y = Z^2\), che prende il nome di distribuzione chi-quadrato

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• 06

  Calcolare la funzione di distribuzione di una gamma \(\Gamma(k, \lambda)\), ricordando che la densità di una gamma \(S_k \sim \Gamma(k, \lambda)\) di parametri \(k\) e \(\lambda\), con \(k\) naturale intero è riportata a seguire

  \[f_{S_k}(x) = \frac{\lambda^k x^{k-1}e^{-\lambda x}}{(k-1)!}\]